Африкан Петрович Богаевский родился 27 декабря 1872 года в станице Каменской Донецкого округа. Он происходил из потомственных дворян Войска Донского и был сыном войскового старшины Петра Григорьевича Богаевского, участника Севастопольской обороны.

В 1890 году Богаевский окончил Донской кадетский корпус, а в 1892 году - Николаевское кавалерийское училище, где был выпущен хорунжим в лейб-гвардии Атаманский полк. В 1900 году он окончил Николаевскую академию Генерального штаба с отличием и служил в штабе войск Гвардии и Петербургского военного округа. В декабре 1908 года он получил звание полковника.

С 1909 по 1914 год Богаевский был начальником штаба 2-й гвардейской кавалерийской дивизии. В октябре 1914 года он стал командиром 4-го гусарского Мариупольского полка и был награждён Георгиевским оружием за участие в боях. В январе 1915 года он был назначен командиром лейб-гвардии Сводно-Казачьего полка, а 22 марта 1915 года получил звание генерал-майора.

В 1917 году Богаевский был награждён Георгиевским крестом IV-й степени с лавровой ветвью за бои под Тарнополем. После Октябрьской революции он присоединился к Добровольческой армии и стал одним из её командиров. В 1918 году он был избран Войсковым атаманом Всевеликого Войска Донского и стал одним из руководителей Белого движения на Юге России.

В эмиграции Богаевский продолжал активную деятельность, создав Объединённый совет Дона, Кубани и Терека и став одним из создателей Казачьего союза. Он также был инициатором создания Донской исторической комиссии и активно печатался в казачьих периодических изданиях под псевдонимом Эльмут.

Африкан Петрович Богаевский скончался 21 октября 1934 года в Париже и был похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа. Он оставил после себя несколько произведений, включая мемуары "Ледяной поход", которые были опубликованы в 1963 году в Нью-Йорке.