Николай Алексеевич Абрикосов родился в многодетной семье купца Алексея Ивановича Абрикосова и Агриппины Александровны Мусатовой. В семье было 22 ребёнка, из которых 17 выжило. Он окончил физико-математический факультет Московского государственного университета. С 1884 года был членом и затем казначеем Психологического общества, созданного по инициативе философа М. М. Троицкого. Николай Алексеевич также был членом редколлегии журнала «Вопросы философии и психологии» и автором статей в этом журнале.

Николай Алексеевич был соучредителем и директором Товарищества А. И. Абрикосова и сыновей, которое было создано братьями Абрикосовыми в 1880 году после того, как они выкупили у отца фабрику в 1873 году и существенно расширили производство. Он также являлся директором правления другого товарищества — «Братья К. и С. Поповы». В 1880-1890-е годы Абрикосовы продавали половину всей кондитерской продукции в России. Их богато отделанные магазины располагались в нескольких местах Москвы. В 1899 году предприятие получило статус «Поставщик Двора его Императорского Величества».

Николай Алексеевич занимался благотворительной деятельностью. Он был попечителем мужских начальных училищ, помогал бедным учащимся средних учебных заведений, нуждающимся ученицам первой женской гимназии, оказывал помощь Московской практической академии коммерческих наук. В 1914 году он пожертвовал госпиталям большое количество перевязочных средств. В последние годы жизни Николай Алексеевич жил в коммунальной квартире вместе с женой и нуждался, зарабатывая переводами философов, например, Рабиндраната Тагора. Он был похоронен на Введенском кладбище города Москвы.

Николай Алексеевич был женат на Вере Николаевне, урождённой Кандинской. У них было несколько детей, включая Николая Николаевича, Сергея Николаевича, Веру Николаевну, Хрисанфа Николаевича, Августу Николаевну и Павла Николаевича. После смерти брата Ивана он воспитывал пятерых его детей, среди которых патологоанатом Алексей Иванович Абрикосов, католическая монахиня Анна Ивановна Абрикосова и дипломат Дмитрий Иванович Абрикосов. Внук Николая Алексеевича, Илья, стал известным советским геологом.