Африкан Петрович Богаевский родился 27 декабря 1872 года в станице Каменской Донецкого округа. Он происходил из потомственных дворян Войска Донского и был сыном войскового старшины Петра Григорьевича Богаевского, участника Севастопольской обороны.

В 1890 году Богаевский окончил Донской кадетский корпус, а в 1892 году - Николаевское кавалерийское училище, после чего был выпущен хорунжим в лейб-гвардии Атаманский полк. В 1900 году он окончил Николаевскую академию Генерального штаба с отличием и служил в штабе войск Гвардии и Петербургского военного округа. В декабре 1908 года он получил звание полковника.

С 1909 по 1914 год Богаевский был начальником штаба 2-й гвардейской кавалерийской дивизии. В октябре 1914 года он стал командиром 4-го гусарского Мариупольского полка и был награждён Георгиевским оружием за участие в боях. В январе 1915 года он был назначен командиром лейб-гвардии Сводно-Казачьего полка, а в марте 1915 года получил звание генерал-майора.

В 1917 году Богаевский был награждён Георгиевским крестом IV-й степени с лавровой ветвью за бои под Тарнополем. После Октябрьской революции он присоединился к Добровольческой армии и стал одним из её командиров. В 1918 году он был избран Войсковым атаманом Всевеликого Войска Донского и стал первым атаманом за Рубежом.

В эмиграции Богаевский жил в Константинополе, Софии, Белграде и Париже. Он был одним из создателей Казачьего союза и Союза казаков-комбатантов, а также инициатором создания Донской исторической комиссии. Богаевский скончался 21 октября 1934 года в Париже и был похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа.

Богаевский был награждён многочисленными орденами и наградами, включая Георгиевское оружие, Георгиевский крест IV-й степени с лавровой ветвью, орден Святого Станислава 1-й степени с мечами и другие. Он также был почётным казаком станицы Захламинской и станицы Черноярской Астраханского казачьего войска.

В эмиграции Богаевский активно печатался под псевдонимом Эльмут в казачьих периодических изданиях. Он написал книгу "Ледяной поход. Воспоминания 1918 год", которая была опубликована в 1963 году в Нью-Йорке. Богаевский был женат на Надежде Васильевне Перрет и имел двух сыновей, Евгения и Бориса. Его братья, Митрофан и Януарий, также были известными казачьими деятелями.