Александр Александрович Боровский родился в Могилёвской губернии в семье русского офицера. Он был воспитан в Псковском кадетском корпусе и впоследствии поступил в Павловское военное училище, где начал свою военную службу в 1894 году. После окончания училища Боровский был произведён в подпоручики и зачислен в Лейб-гвардии Литовский полк.

В дальнейшем Боровский продолжил образование в Николаевской академии Генерального штаба, но был отчислен и вернулся в свой полк. Затем он был командирован в Офицерскую стрелковую школу и прошёл курс обучения. Боровский был женат и имел сына, но его брак был расторгнут в 1912 году.

С началом Первой мировой войны Боровский был назначен командиром 6-го Сибирского стрелкового полка и принимал участие в боевых действиях на европейском театре. Он был произведён в полковники и затем в генерал-майоры. В 1917 году Боровский был назначен бригадным командиром 2-й Сибирской стрелковой дивизии.

После Октябрьской революции Боровский вступил в Добровольческую армию и принимал участие в Первом Кубанском походе. Он был командиром Юнкерского батальона и Сводного офицерского полка. В 1918 году Боровский был произведён в генерал-лейтенанты и назначен начальником 2-го армейского корпуса.

В 1919 году Боровский был командующим Крымско-Азовской Добровольческой армией и принимал участие в боях против украинской советской армии. Однако, он был оставлен в резерве командующего Добровольческой армией и впоследствии уволен от службы.

После эмиграции Боровский проживал в городе Скопье, где и скончался в 1938 году. Он был награждён многочисленными орденами и медалями, включая Орден Святого Георгия 4-й степени и Георгиевское оружие.