Александр Алексеевич Безкровный родился 26 августа 1866 года. Он происходил из дворян, был православного вероисповедания и уроженцем Екатеринославской губернии. Общее образование получил в Петровском Полтавском кадетском корпусе, который окончил в 1884 году. В военную службу вступил 25 августа 1884 года. В губернском городе Москве окончил 3-е военное Александровское училище по 1-му разряду и был выпущен подпоручиком в 55-й пехотный Подольский полк, расквартированный в Бендерах, Бессарабской губернии.

Позже служил в Бендерской крепостной артиллерии, а после её упразднения как воинской части, с марта 1897 года — в Одесском крепостном артиллерийском батальоне, затем, с июня 1898 года, — в 34-й артиллерийской бригаде, расквартированной в Александрии, Херсонской губернии. В 1891 году был произведен в поручики, в 1895 году — в штабс-капитаны. В мае 1898 года окончил Николаевскую академию Генерального Штаба и, за отличные успехи в науках, произведен в капитаны.

В 1899 году был причислен к Генеральному штабу, состоял при Кавказском военном округе. В марте 1901 года переведен в Генеральный штаб, с назначением старшим адъютантом штаба 21-й пехотной дивизии. С 01.11.1901 по 01.11.1902, в прикомандировании к 81-му пехотному Апшеронскому полку, проходил цензовое командование ротой. В декабре 1902 года произведен в Генерального штаба подполковники, с назначением начальником штаба Усть-Двинской крепости.

В ноябре 1904 года назначен исправляющим должность начальника штаба Либавской крепости. В мае–августе 1905 года в Либаве, в прикомандировании к 178-му пехотному Венденскому полку, проходил цензовое командование батальоном. В начале мая того же года, был назначен исправляющим должность начальника штаба 70-й пехотной дивизии, формируемой в Екатеринославе. В июне 1906 года назначен штаб-офицером при управлении 53-й пехотной резервной бригады. В декабре 1906 года произведен в Генерального штаба полковники.

В мае–июне 1908 года был в прикомандировании к строевой артиллерийской части, затем, в июле того же года, — в прикомандировании к строевой кавалерийской части. С июня 1909 года — начальник штаба 44-й пехотной дивизии. В мае 1912 года назначен командиром 73-го пехотного Крымского полка, расквартированного в Виннице Подольской губернии. Был женат, имел двух дочерей. Участник Первой мировой войны. В войну вступил в июле 1914 года во главе своего 73-го пехотного Крымского полка.

В феврале 1915 года, за отличия в делах против неприятеля, был произведен в генерал-майоры. В июне 1915 года назначен начальником штаба 38-го армейского корпуса, в ноябре 1916 года — начальником штаба 20-го армейского корпуса. В мае 1917 года назначен командующим 117-й пехотной дивизией, в июле того же года — командующим 22-м армейским корпусом. В августе 1917 года, за отличие по службе, произведен в генерал-лейтенанты.

В 1918 году служил в армии Украинской державы. С 08.06.1918 — исполняющий должность начальника кадрированной 10-й пехотной дивизии. В декабре 1918 года, после падения власти гетмана Скоропадского, перешёл на сторону ВСЮР. С 29 августа 1919 года был в резерве чинов штаба Главнокомандующего, затем в резерве чинов при штабе войск Киевской области ВСЮР, а с 22 февраля 1920 года — при штабе войск Новороссийской области ВСЮР. В Русской армии генерала Врангеля числился в резерве чинов при штабе Главнокомандующего.

В 1920 году эвакуирован из Крыма. С 1921 года — эмигрант в Турции, на протяжении многих лет был председателем Союза русских военных инвалидов в Турции. Умер 26 апреля 1948 года в Александрии, там же и похоронен. Награждён медалью «В память царствования императора Александра III», орденами Святого Станислава 3-й и 2-й степени, Святой Анны 3-й и 2-й степени, Святого Владимира 4-й и 3-й степени, Святого Георгия 4-й степени, Святого Станислава 1-й степени.