Александр Алексеевич Карнеев родился в православной семье дворян Области Войска Донского, был сыном офицера Алексея Андреевича, казака станицы Старочеркасской. Образование получил в Новочеркасской классической гимназии, которую окончил в 1878 году. В военную службу вступил в 1878 году. Затем окончил Варшавское пехотное юнкерское училище и был выпущен в 5-й Донской казачий полк.

Александр Алексеевич Карнеев проходил службу в различных воинских званиях: хорунжий с 1882 года, сотник с 1886 года, подъесаул с 1893 года, есаул с 1897 года. Участник русско-японской войны 1904—1905 годов. В 1905 году получил звание войскового старшины, в 1910 году — полковника. Участвовал в Первой мировой войне, командовал 14-м Донским казачьим полком и отличился в ходе конной атаки у Нерадова в 1915 году.

Александр Алексеевич Карнеев продолжал службу в Донской армии после Октябрьской революции. Вышел в отставку генерал-лейтенантом в 1920 году, затем вновь находился на службе тем же чином. С мая 1920 года был начальником Донского офицерского резерва Русской армии до эвакуации из Крыма. В эмиграции находился с 1921 года, проживал в Турции, Болгарии, затем в Италии.

Александр Алексеевич Карнеев скончался в Риме в 1940 году и был погребен на кладбище Тестаччо. Награжден орденами Святого Георгия 4-й степени, Святой Анны 3-й степени с мечами и бантом, Святого Станислава 2-й степени с мечами, Святого Владимира 4-й степени с бантом, Святой Анны 2-й степени, Святого Владимира 3-й степени с мечами.