Александр Иванович Березовский родился 1 декабря 1867 года в Черниговской губернии. Он происходил из потомственных дворян этой губернии. Общее образование получил в Полтаве, в Петровском Полтавском кадетском корпусе.

В военную службу вступил в августе 1886 года в Санкт-Петербурге юнкером Михайловского артиллерийского училища. Трёхлетний курс училища окончил по 1-му разряду и 10 августа 1889 года был выпущен подпоручиком в 33-ю артиллерийскую бригаду 33-й пехотной дивизии. В дальнейшем последовательно был удостоен чинов поручика, штабс-капитана, капитана Генерального штаба, подполковника Генерального штаба, полковника, генерал-майора и генерал-лейтенанта.

К середине мая 1896 года окончил основной и дополнительный курс Николаевской академии Генерального штаба по 1-му разряду. Был причислен к Генеральному штабу и назначен состоять при Киевском военном округе для поручений. Затем был переведен в Генеральный штаб и назначен на должность старшего адъютанта штаба 9-й кавалерийской дивизии, а позже — старшим адъютантом штаба 12-го армейского корпуса.

В 1914 году вступил в Первую мировую войну во главе 57-го пехотного Модлинского полка. Позже был назначен командиром бригады 15-й пехотной дивизии, начальником штаба 10-го армейского корпуса, командующим 3-й гренадерской дивизии и командиром 31-го армейского корпуса.

После Октябрьской революции 1917 года был уволен из русской армии и возвратился в Херсон. В мае 1918 года вступил в военную службу в украинскую армию. С июля 1918 года был исполняющим должность командира 3-го Херсонского армейского корпуса, а с 8 ноября 1918 года — командиром того же корпуса.

В ноябре 1918 года объявил о переходе вверенных ему войск в состав Добровольческой армии и был уволен из украинской армии. В 1919 году состоял при штабе Крымско-Азовской Добровольческой армии, затем прибыл в штаб Главнокомандующего Вооружёнными Силами Юга России.

В ноябре 1920 года был эвакуирован из Крыма в Константинополь, откуда вскоре перебрался в Берлин. В Берлине много лет был председателем берлинского отдела эмигрантского Общества русских офицеров Генерального штаба. Во второй половине 1938 года был назначен начальником 3-го отдела Объединения русских военных союзов в Германии и заместителем начальника Объединения.

Умер 15 октября 1940 года и был похоронен на русском кладбище Тегель в Берлине. Награждён медалями и орденами, включая Георгиевское оружие, Орден Святого Георгия 4-й степени, Орден Святого Владимира 3-й степени с мечами и другие.