Александр Константинович Билинский родился 24 ноября 1869 года. Он происходил из дворян Херсонской губернии и был сыном чиновника. Билинский получил домашнее образование и не имел свидетельства о среднем образовании. В апреле 1886 года он вступил в военную службу вольноопределяющимся 2-го разряда и был зачислен рядовым в 12-й стрелковый батальон. После прохождения курса наук в Киевском пехотном юнкерском училище, в декабре 1889 года он был произведен в подпоручики.

В начале 1890-х годов Билинский был переведен в 18-й стрелковый полк 5-й стрелковой бригады. В апреле 1894 года он был произведен в поручики, а в октябре 1900 года - в штабс-капитаны. Билинский принимал участие в Китайской кампании 1900-1901 годов в составе Десантного корпуса. В 1901 году он вернулся в Сувалки в составе своего полка. В июле 1902 года Билинский был произведен в капитаны.

Билинский также был участником Русско-японской войны. К октябрю 1904 года 18-й стрелковый полк был отмобилизован и отправлен в Маньчжурию, где принимал участие в сражении под Сандепу и Мукденском сражении. Билинский был ранен и контужен в боях. За отличия в делах против японцев он был произведен в подполковники в октябре 1905 года.

В марте 1911 года Билинский был произведен в полковники. В мае 1912 года он был переведен во 2-й Сибирский стрелковый полк. На январь 1914 года Билинский был старшим штаб-офицером 2-го Сибирского стрелкового полка. Он был женат и имел одну дочь 1910 года рождения.

Билинский принимал участие в Первой мировой войне в составе своего полка. В декабре 1914 года он был назначен командиром 2-го Сибирского стрелкового полка, а в ноябре 1915 года произведен в генерал-майоры. С 31 мая 1916 года Билинский был командиром бригады 57-й пехотной дивизии, а с 30 апреля 1917 года - командующим 111-й пехотной дивизией. В сентябре 1917 года он был отчислен от занимаемой должности за болезнью.

После Октябрьской революции 1917 года Билинский служил в армии Украинской державы. В 1918 году он был начальником 13-й пехотной дивизии. После ликвидации гетманата он был интернирован и депортирован в Германию. В январе 1919 года Билинский вступил в отряд Бермонт-Авалова и был произведен в генерал-лейтенанты. В апреле 1919 года он прибыл в Польшу и поступил на службу в польскую армию. Билинский скончался 24 ноября 1922 года в Бресте-над-Бугом.