Александр Петрович Зощенко родился 15 ноября 1868 года в православной дворянской семье, проживавшей в Енисейской губернии, но происходившей из дворянства Полтавской губернии. Он окончил Сибирский кадетский корпус и Второе Константиновское военное училище. К началу Первой Мировой войны Александр Зощенко был подполковником 43-го Сибирского стрелкового полка. В 1915 году он был произведён в полковники за отличие.

После развала армии Александр Зощенко возвратился на родину. В Белой армии он возглавил 2-й Степной Сибирский полк 22 июля 1918 года, а осенью 1918 года — всю 2-ю Степную дивизию, и был произведён в генерал-майоры. В марте-мае 1919 года он также был начальником гарнизона Новониколаевска и командиром находящихся там 3-й кадровой и 13-й Сибирской стрелковой дивизий. В конце июня 1919 года Александр Зощенко выступил на фронт во главе свежесформированной под его руководством 13-й Сибирской дивизии, но дивизия была разбита в первых же боях и в значительной степени перебежала к красным.

Александр Зощенко продолжил участие в боях, предположительно, сохранив за собой должность командира дивизии из одного полка, принял участие в Сибирском Ледяном Походе, по окончании которого был назначен генералом для поручений при командующем 3-м стрелковым корпусом. Осенью 1921 года он занял ту же должность при командующем Временного Приамурского правительства генерал-лейтенанте Дитерихсе. Александр Зощенко эвакуировался из Владивостока на кораблях эскадры адмирала Старка осенью 1922 года и был одним из руководителей успешной эвакуации. Он был женат на Татьяне Григорьевне, урождённой Поповой, и имел шестерых детей. В эмиграции Александр Зощенко проживал с семьёй в Харбине, затем в Шанхае, где и был похоронен на православном кладбище Лю-Кавей.

Александр Зощенко имел двух братьев, оба из которых являлись полковниками армии Колчака: Алексей Петрович Зощенко и Георгий Петрович Зощенко. Алексей Петрович родился в 1867 году, был ранен и контужен на Русско-Японской войне, и после отступления Белой армии был взят в плен. Георгий Петрович родился в 1875 году, участвовал в Русско-Японской войне, и вступил в армию Колчака в 1918 году. Дальнейшая судьба обоих братьев неизвестна. Александр Зощенко был награждён орденами Святого Станислава 3-й степени, Святой Анны 3-й степени, Святого Станислава 2-й степени, Святого Владимира 4-й степени, Святой Анны 2-й степени с мечами и Святого Владимира 3-й степени с мечами.