Ростислав Евгеньевич Алексеев родился в семье Евгения Кузьмича и Серафимы Павловны Алексеевых. Его отец был учёным-растениеведом, а мать - учительницей русского языка. Ростислав был старшим ребёнком в семье, у него были брат Анатолий и сёстры Галина и Маргарита.

Ростислав Алексеев окончил начальную школу в Новозыбкове, а затем, в период ссылки отца в Нижний Тагил, учился в школе ФЗУ, работая слесарем по ремонту радиоаппаратуры. В 1933 году он поступил в Горьковский вечерний механико-машиностроительный рабфак, где работал чертёжником и художником-оформителем. В 1935 году он поступил в Горьковский индустриальный институт имени Жданова на кораблестроительный факультет.

В 1941 году Ростислав Алексеев защитил дипломную работу на тему "Глиссер на подводных крыльях" и получил звание инженера-кораблестроителя. После защиты диплома он был направлен на завод "Красное Сормово", где работал в должности контрольного мастера выпуска танков Т-34. В свободное время он продолжал эксперименты с подводными крыльями и в 1943 году создал первый двухместный катер на подводных крыльях А-4.

В 1945 году Ростислав Алексеев был назначен руководителем Научно-исследовательской гидролаборатории (НИГЛ), где он продолжил работы по созданию судов на подводных крыльях. В 1951 году он был удостоен Сталинской премии второй степени за создание первых судов на подводных крыльях. В 1954 году гидролаборатория Алексеева вошла в ЦКБ-19 в виде филиала.

Ростислав Алексеев также занимался парусным спортом и был конструктором яхт. Он был призёром всесоюзных соревнований и мастером спорта СССР. В 1946 году ему было присвоено звание "Мастер спорта СССР". Он был членом ВКП(б) с 1950 года и лауреатом Ленинской премии (1962) и Государственной премии СССР (1984).

Ростислав Алексеев сконструировал и построил несколько яхт, включая "Пират", "Ребус" и "Русалка". Он также был председателем Горьковской городской парусной секции и тренером по парусному спорту. Помимо яхт, он занимался конструированием судов на подводных крыльях и экранопланов. Он был одним из пионеров в области создания судов на подводных крыльях и сделал значительный вклад в развитие этой области.