Алексей Алексеевич Абрикосов родился в семье известных патологоанатомов — академика Алексея Ивановича Абрикосова и Фани Давидовны Вульф. После окончания средней школы в 1943 году он поступил в Московский энергетический институт, где начал изучать энерготехнику. В 1945 году Абрикосов перевёлся в Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова и приступил к изучению физики под руководством Л. Д. Ландау.

В возрасте 19 лет Абрикосов сдал Льву Ландау так называемый «теоретический минимум» — чрезвычайно сложный экзамен в области физической науки и вошёл в неофициальный список «учеников Ландау». В 1948 году он окончил с отличием физический факультет МГУ. Под руководством Л. Д. Ландау Абрикосов подготовил кандидатскую диссертацию на тему «Термическая диффузия в полностью и частично ионизированных плазмах» и защитил её в 1951 году в Институте физических проблем в Москве.

В 1951-1965 годах Абрикосов работал в Институте физических проблем. В 1965-1988 годах он работал в Институте теоретической физики имени Л. Д. Ландау Академии наук СССР. В 1988-1991 годах Абрикосов был директором Института физики высоких давлений в Троицке. Он также преподавал в различных университетах, включая Московский государственный университет, Горьковский государственный университет и Московский физико-технический институт.

Абрикосов является членом различных научных учреждений, включая Национальную академию наук США, Российскую академию наук и Лондонское королевское общество. Он был награждён многочисленными наградами, включая Нобелевскую премию по физике в 2003 году, Ленинскую премию в 1966 году и Государственную премию СССР в 1982 году.

Абрикосов был трижды женат и имел двоих сыновей и дочь. Он скончался 29 марта 2017 года в Пало-Алто, США. В его честь назван Международный центр теоретической физики имени А. А. Абрикосова МФТИ.