Алексей Николаевич Бунин родился 28 января 1858 года в православной семье. Образование он получил в Полоцком кадетском корпусе. В военную службу вступил 11 августа 1876 года. Окончил 1-е военное Павловское училище. Выпущен подпоручиком с зачислением по армейской пехоте и прикомандированием к Лейб-гвардии Резервному полку.

Переведен в Гвардию с чином прапорщика. Продолжил службу, получая последующие чины: подпоручик, поручик, штабс-капитан, капитан. Командовал ротой. Находился в отставке с 25 апреля 1902 года по 29 апреля 1904 года. Полковник. Командовал батальоном. С 1 июля 1904 года был командиром 33-го Восточно-Сибирского стрелкового полка. Участник русско-японской войны, был контужен у деревни Сандепу.

Участник Первой мировой войны. В июне 1915 года командовал 4-й Сибирской стрелковой дивизией в чине генерал-майора. Награждён орденом Св. Георгия 4-й степени за отличия в командовании 1-й бригады 1-й Сибирской стрелковой дивизии. Начальник 4-й Сибирской стрелковой дивизии. Генерал-лейтенант. Состоял в резерве чинов при штабе Петроградского военного округа. Начальник 16-й Сибирской стрелковой дивизии. Уволен со службы по прошению 9 сентября 1917 года.

После октябрьской революции был участником Белого движения на востоке России. Начальник гарнизона города Никольск-Уссурийский. В 1920 году был на службе в вооруженных силах Временного Приамурского правительства. 9 июня 1920 года был зачислен в резерв для увольнения в отставку и назначения пенсии. Награждён орденом Св. Георгия 4-й степени, Золотым оружием «За храбрость», орденами Св. Станислава, Св. Анны, Св. Владимира. Дальнейшая судьба неизвестна.