Алексей Проклович Бакшеев родился в посёлке Атамановском Забайкальской области. Происходил из забайкальских казаков. В 1895 году он окончил Читинское городское училище, после чего был призван во 2-й Забайкальский казачий полк. Позднее он был направлен в Иркутское военное училище, которое окончил в 1899 году в звании хорунжего и был назначен в 1-й Аргунский полк.

Бакшеев принимал участие в Китайском походе 1900—1901 годов и Русско-японской войне, где командовал сотней 1-го Аргунского полка. В 1908 году он окончил Офицерскую стрелковую школу. Во время Первой мировой войны он был есаулом 1-го Читинского полка и был награждён Георгиевским оружием и орденом Святого Георгия 4-й степени. В 1915 году он был тяжело ранен и взят в плен, но вернулся в полк после обмена пленными в 1917 году.

В том же году Бакшеев был произведён в войсковые старшины и назначен командиром 1-го Верхнеудинского полка. Он также был членом Казачьего войскового правления. В Гражданскую войну он сражался в Особом Маньчжурском отряде Г. М. Семёнова и занимал различные командные должности. В 1920 году он эмигрировал в Маньчжурию, где жил в Харбине и занимал пост войскового атамана Забайкальского казачьего войска. Бакшеев сотрудничал с японскими властями и возглавлял Бюро по делам российских эмигрантов.

В августе 1945 года Бакшеев был захвачен советской контрразведкой в Маньчжурии и осуждён. Он был расстрелян 30 августа 1946 года. В 1998 году его уголовное дело было пересмотрено, и по статье 58-10 ч. 2 УК РСФСР дело было прекращено за отсутствием состава преступления, но в остальной части приговор оставлен в силе, и Бакшеев был признан не подлежащим реабилитации.