Егор Никитич Аннаев родился 11 (23) апреля 1826 года в Астрахани в многонациональной семье. Его дед, Христофор Фабрициус, был немцем по происхождению и поданным Российской империи. Он женился на польке, и в браке родилась дочь Мария, которая вышла замуж за армяно-католика Никиту Аннаева. В их браке родилось пятеро детей, Мария умерла во время родов пятого ребенка. После смерти родителей Егор Аннаев остался сиротой и был взят на воспитание своим дедом Христофором Фабрициусом, который работал соляным приставом.

После смерти деда в 1833 году Егор Аннаев переехал жить к дальним родственникам, где обучался портняжному делу. Однако обстановка в доме была достаточно тяжелой. Его старшая сестра Елизавета вышла замуж и переехала жить в Саратов, забрав вместе с собой двух младших сестёр. Другая сестра, Екатерина, вышла замуж за владельца сети виноторговых лавок Ивана Ивановича Макке и переехала в Симбирск. Екатерина уговорила мужа взять брата Егора к себе, когда ему было 11 лет.

В 1843 году Иван Макке приобрёл у симбирских дворян Ермоловых огромный сад. В 1847 году Егор Аннаев по собственному проекту выстроил в саду оранжерею с двумя террасами, где круглый год выращивались саженцы, овощи, фрукты и экзотические цветы. В 1848 году Макке отправил Аннаева в Самару на должность приказчика одной из винных лавок. В день его приезда в городе случился большой пожар, дом Макке сгорел полностью. Купец поручил Аннаеву руководить строительством нового каменного дома, которое началось в мае 1850 года.

В конце 1851 года Иван Макке передал Егору Аннаеву всю свою самарскую торговлю. Аннаев принимает решение открыть в Самаре своё дело — бакалейный магазин. С 1 января 1852 года он стал купцом 3-й гильдии. В то же время Аннаев начал строительство винно-водочного завода на углу улиц Заводской и Николаевской. Вскоре его винные магазины открылись также в Оренбурге и в Саратове. Затем он открыл мельницу и пекарню. К 1862 году Аннаев владел целым рядом доходных заведений, в том числе мельницей, пекарней, рестораном и гостиницей.

В 1861 году Егор Аннаев получил разрешение на строительство в Самаре католической церкви за свой собственный счёт. Строительство началось в 1862 году на Дворянской улице и было построено в 1865 году как евангелическо-лютеранский храм — Церковь Святого Георга. В 1862 году он стал путешествовать по Европе, и именно во время путешествия ему пришла идея открыть в своем городе кумысолечебное заведение. Оно было открыто 12 мая 1863 года на берегу Волги в урочище Вислый Камень и получило известность как «Аннаевская дача».

Егор Аннаев был владельцем дачи свыше 20 лет. Был гласным городской думы на протяжении 4 лет. Кроме того, в разные годы был членом губернской земской управы, товарищем директора общественного банка, товарищем председателя Самарского управления общества Красного Креста. Стал купцом 1-й гильдии. В 1878 году ему было присвоено звание Почётного гражданина Самары. Принимал участие в благоустройстве Струковского сада и Алексеевского сквера. Умер 6 (19) августа 1903 года, заниматься его делом продолжил сын Павел.

Егор Аннаев был женат дважды. В первом браке родился сын, который был от рождения глухонемым. Во втором браке, заключённом в 1865 году, его женой стала Екатерина Павловна Бабкина, и в их браке родилось 6 детей.