Антон Викентьевич Бордзиловский родился в 1876 году в Перми, Российская империя. Происходил из дворян Могилевской губернии. Он окончил Сибирский кадетский корпус в Омске в 1895 году и Константиновское артиллерийское училище в 1898 году.

Во время Первой мировой войны Бордзиловский служил начальником охраны императорского дворца в Гатчине. В июне 1918 года он начал служить помощником командира Тобольского добровольческого отряда, а затем 6-го Степного Сибирского стрелкового полка в составе войск Временного Сибирского правительства. В январе-сентябре 1919 года он командовал 25-м Тобольским Сибирским стрелковым полком в составе 7-й Сибирской стрелковой дивизии Южной группы Сибирской армии адмирала А. В. Колчака. Бордзиловский был произведен в подполковники.

В дальнейшем Бордзиловский командовал 7-й Тобольской Сибирской стрелковой дивизией, Северной группой войск, 3-й Иркутской стрелковой дивизией и гарнизоном Спасска. Он также командовал 1-й стрелковой бригадой и был помощником командира 2-го стрелкового корпуса. За боевые отличия он был произведен в генерал-майоры и позже в генерал-лейтенанты.

После эмиграции Бордзиловский проживал в Китае, где занимал различные должности, включая председателя Общества кадетов-сибиряков и Офицерского союза. Затем он переехал в Шанхай и позже в США, где стал начальником отделения РОВС и членом Кадетского объединения. Бордзиловский был награждён орденом Святого Георгия 4-й степени и знаком отличия военного ордена «За Великий Сибирский поход». Он скончался в 1962 году в Принстоне, США, и был похоронен на Галлиполийском кладбище в монастыре Новое Дивеево под Нью-Йорком.