Арсений Александрович Тарковский родился 25 июня 1907 года в Елисаветграде, в то время уездном городе Херсонской губернии. Его отец, Александр Карлович Тарковский, работал служащим Елисаветградского общественного банка и был лично знаком с Лениным и Пилсудским. Арсений Тарковский вместе с отцом и братом посещал поэтические вечера столичных знаменитостей, таких как Игорь Северянин, Константин Бальмонт и Фёдор Сологуб.

В 1923 году Арсений Александрович переехал в Москву к сестре по отцу, Леонилле Александровне Тарковской. В 1925 году он поступил учиться на Высшие литературные курсы, где познакомился с поэтом и теоретиком стиха Георгием Аркадьевичем Шенгели, который стал его учителем и старшим другом. В том же году Тарковский познакомился с Марией Вишняковой, которая стала его женой в 1928 году. В 1932 году родился их сын Андрей, ставший позднее известным кинорежиссёром.

В 1931 году Тарковский работал на Всесоюзном радио старшим инструктором-консультантом по художественному радиовещанию. В 1936 году он познакомился с Антониной Александровной Бохоновой, женой критика и литературоведа Владимира Тренина. Летом 1937 года Тарковский оставил первую семью и соединил свою жизнь с Бохоновой. В 1940 году он развёлся со своей первой женой и оформил брак с Антониной Бохоновой.

Начало войны застало Тарковского в Москве. В августе 1941 года он проводил свою первую жену и детей в эвакуацию в город Юрьевец Ивановской области. Вторая жена и её дочь уехали в город Чистополь Татарской АССР. Оставшись в Москве, Тарковский прошёл вместе с московскими писателями военное обучение. Согласно заключению медкомиссии, мобилизации в действующую армию он не подлежал. Однако в декабре 1941 года его наконец вызвали в Москву, и он был направлен на фронт.

С января 1942 по декабрь 1943 года Тарковский работал военным корреспондентом газеты 16-й армии "Боевая тревога". За два месяца пребывания в Чистополе он написал цикл "Чистопольская тетрадь", состоявший из семи стихотворений. В 1943 году Тарковский был награждён орденом Красной Звезды. В декабре 1943 года он был ранен в ногу разрывной пулей и после долгого лечения был вынужден ампутировать ногу.

После войны Тарковский продолжал заниматься поэтическим переводом, работая над переводами классика туркменской литературы Махтумкули и каракалпакской эпической поэмы "Кырк кыз" ("Сорок девушек"). В 1946 году он познакомился с Анной Андреевной Ахматовой, великой русской поэтессой. Дружба поэтов продлилась до кончины Ахматовой. В 1951 году Тарковский женился на переводчице Татьяне Озерской. В последние годы жизни он был награждён Государственными премиями СССР, Туркменской ССР и Каракалпакской АССР. Арсений Александрович Тарковский скончался 27 мая 1989 года в Москве.