Асаф Иванович Баранов родился в 1834 году в семье купца 1-й гильдии Ивана Фёдоровича Баранова. Имя Асаф он получил в честь своего деда по материнской линии — Асафа Алексеевича Зимина, гаврилово-посадского купца-фабриканта. Образование получил в Московской Практической академии коммерческих наук. В молодости посетил ряд европейских стран, где ознакомился с передовыми технологиями мануфактурного производства.

Трудовая деятельность Асафа Баранова началась с 17 лет и первые шесть лет проходила в Александрове. В 1863 году ему и его старшему брату Александру по наследству отошла Троицко-Александровская мануфактура в селе Карабаново; в том же году они основали торговый дом «Александр и Асаф Ивановичи Барановы», контора которого располагалась в Москве. В 1874 году было учреждено «Товарищество на паях мануфактур Барановых», директором-распорядителем которого был избран Александр Иванович, а Асаф Иванович вошёл в состав директоров его правления.

В 1874 году на свои личные средства Асаф Баранов строит недалеко от деревни Струнино на берегу слияния речек Чёрная и Горелый Крест рядом с железной дорогой Москва—Ярославль текстильную фабрику, работа на которой началась в мае 1875 года. Асаф Иванович проявил себя как благотворитель и меценат. Он был действительным членом губернского статистического комитета, гласным от Александровского уезда. Непосредственно в Александрове он входил в состав уездного земского собрания и городской думы, был городским головой.

Умер Асаф Иванович в 1905 или 1906 году в Москве и был похоронен в некрополе Новодевичьего монастыря. Жена — Мария Александровна, дети: Александр Асафович, Елизавета Асафовна, Любовь Асафовна, Николай Асафович, Асаф Асафович, Вера Асафовна и Мария Асафовна.