Павел Андреевич Башенин родился в семье Андрея Анисимовича Башенина, купца 3-й гильдии, лесопромышленика. Обучался в Алексеевском реальном училище и вместе с младшим братом Петром был отдан изучать лесопромышленное дело к крупным «чердынским воротилам». Затем стал компаньоном отца, сопровождал его в поездках по торговым делам в разные города. По отзывам, значительно превзошёл отца в искусстве торговли.

После смерти главы семьи предпринимательское дело продолжила мать, объявленная самостоятельной купчихой 1-й гильдии. В конце XIX века торговый дом «Александра Башенина и Сыновья» был включен в реестр Российских торгово-промышленных предприятий. После смерти матери Павел Андреевич Башенин становится самостоятельным купцом 1-й гильдии, его брат Пётр Андреевич причисляется ко второй купеческой гильдии.

В 1899 году Павел Андреевич женился на Людмиле Николаевне, дочери саратовского землевладельца барона Николая Александровича Дельвига. Людмила Николаевна возглавила Сарапульское благотворительное общество. Детей у супругов Башениных не было. После смерти П.А. Башенина Людмила Николаевна вышла замуж за сарапульского купца Сергея Ивановича Бодалева.

В 1904—1909 годах Павел Андреевич был сарапульским городским головой. Возглавляя городское самоуправление, он уделял значительное время благоустройству и развитию Сарапула. При нем были вымощены центральные улицы города, на основных переездах установлено 50 керосинокалильных фонарей, построены капитальные водопровод и электростанция.

Павел Андреевич делал пожертвования для учебных заведений, жертвовал средства на благотворительные спектакли и рождественские ёлки. Он был членом комитета публичной библиотеки, председателем попечительского совета женской гимназии, попечителем бесплатной больницы, выполнял обязанности мирового судьи. Павел Андреевич был старейшим членом Сарапульского общества рысистого бега. При его активном и непосредственном участии в городе был открыт краеведческий музей.

Павел Андреевич скончался 4 марта 1910 года от кровоизлияния. Торжественное отпевание состоялось в Вознесенском кафедральном соборе. Похороны Павла Андреевича превратились во всенародное шествие. Он был похоронен в фамильном склепе у Воскресенской церкви. Могила не сохранилась. После смерти Павла Андреевича семейное предприятие перешло к его младшему брату — Петру Андреевичу Башенину.