Андрей Николаевич Белозерский родился в Ташкенте в семье чиновника. Его отец, Николай Андреевич Белозерский, был юристом судебной палаты, а мать, Евгения Семёновна, преподавателем музыки в прогимназии. В семье было трое детей: Николай, Лидия и Андрей. После смерти родителей в 1913 году Андрей Белозерский попал в Гатчинский сиротский приют, но после закрытия приюта весной 1917 года он переехал на жительство в семью сестры матери, Татьяны Семёновны Ивановой, в город Верный.

В 16 лет Андрей Николаевич был зачислен студентом на физико-математический факультет Среднеазиатского государственного университета в Ташкенте. Его учителями были Н. А. Димо, А. Л. Бродский, П. А. Баранов, И. А. Райкова, А. И. Введенский и другие. Будучи студентом, Андрей Николаевич работал лаборантом и начал преподавать на рабфаке университета. В университете под руководством известного биолога А. В. Благовещенского он выполнил свою первую научную работу, изучая концентрацию водородных ионов в водных вытяжках из листьев некоторых горных растений. В 1927 году Андрей Николаевич окончил физико-математический факультет по специальности «физиология растений».

В 1930 году Андрей Николаевич начал работать на кафедре биохимии растений Московского университета под руководством А. Р. Кизеля. Он начал изучать растительные белки на разных стадиях онтогенеза растений, в частности нуклеопротеиды, представляющие собой комплексы белков с нуклеиновыми кислотами. В 1938 году ему без защиты диссертации была присвоена учёная степень кандидата наук, а в 1943 году он защитил диссертацию на степень доктора биологических наук на тему «Нуклеопротеиды и полинуклеиновые кислоты растений». В 1943 году Андрей Николаевич был утверждён профессором биологического факультета Московского университета.

Андрей Николаевич Белозерский проводил исследования по составу нуклеиновых кислот и их распространению у различных организмов. Он получил первое доказательство о существовании м-РНК и заложил основы геносистематики. Его работы по изучению нуклеотидного состава ДНК и РНК у бактерий послужили началом многочисленных исследований состава нуклеиновых кислот у других организмов. Андрей Николаевич принимал активное участие в создании современной геносистематики и был одним из создателей Института белка АН СССР в городе Пущино.

Андрей Николаевич Белозерский был дважды женат и имел троих детей: дочь Наталью от первого брака и двоих детей от второго брака — Михаила и Татьяну. Все дети получили образование в областях, близких к биологии. Андрей Николаевич умер в Москве от рака желудка и похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве. Он был академиком АН СССР, вице-президентом АН СССР и Героем Социалистического Труда.