Алексей Алексеевич Бобринский родился 6 января 1800 года в Санкт-Петербурге. Он был старшим сыном графа Алексея Григорьевича Бобринского и его жены Анны Владимировны. Бобринский получил домашнее образование, которое продолжил в Московском училище колонновожатых. В 1817 году он был переведен в Свиту Его Величества по квартирмейстерской части, а 15 октября того же года в лейб-гвардии Гусарский полк юнкером. 2 февраля 1819 года он был произведен в корнеты, в 1822 году - в поручики, и 17 апреля 1824 года переведен в кавалергарды. 21 января 1827 года Бобринский вышел в отставку в чине штабс-ротмистра.

После службы Бобринский служил в департаменте уделов, а с 1833 года в Министерстве финансов, в особенной канцелярии по кредитной части. Он был человеком образованным, имел обширные познания в математике, финансах, химии, механике. Бобринский был уважаем как знаток точных наук и инженер, состоял членом императорского общества сельского хозяйства, членом статистического комитета, членом попечительского совета Императорского Киевского университета святого Владимира, членом общества естествоиспытателей.

Бобринский был основателем сахарной промышленности в Российской империи. Он устроил в селе Михайловском Тульской губернии большой свеклосахарный завод, а позже построил Смелянский песочно-рафинадный завод, Балаклейский сахарный завод, Грушевский сахарный завод и Капитановский сахарный завод. Бобринский постоянно стремился к совершенствованию свеклосахарного производства, вводя новейшие машины и аппараты, и его деятельность имела влияние на развитие машиностроения в Российской империи.

Бобринский также занимался другими начинаниями, такими как улучшение земледельческих орудий, глубокое возделывание полей, рациональное удобрение их, введение многочисленных севооборотов, применение в обширных размерах травосеяния, новое устройство зерновых сушилен и хлебных магазинов. Он сам изобрёл новую модель плуга-углубителя и ввел строгую таксацию в своих лесах. Бобринский также получил известность как цветовод и был одним из первых, кто ввел в России ремонтантные розы.

Бобринский женился 27 апреля 1821 года на Софье, дочери графа А. Н. Самойлова, фрейлине императрицы Марии Фёдоровны. В браке родились трое сыновей: Александр, Владимир и Лев. Бобринский умер 4 октября 1868 года в Смеле Черкасского уезда Киевской губернии. Вольное экономическое общество учредило в память графа особую медаль, а на Вокзальной площади в Киеве был поставлен памятник в его честь.