Иван Григорьевич Акулинин родился в 1880 году в посёлке Урлядинский, станицы Карагайской, 2-го (Верхнеуральского) отдела Оренбургского казачьего войска. Он был потомственным оренбургским казаком. Акулинин окончил Верхнеуральское городское училище, после чего в 1900 году поступил на военную службу вольноопределяющимся. Затем он поступил в Оренбургское казачье юнкерское училище, которое окончил в 1903 году в чине хорунжего. После окончания училища он получил назначение во 2-й Оренбургский казачий полк.

Акулинин участвовал в Русско-Японской войне в составе 4-го Сибирского казачьего полка. В 1905 году он был назначен адъютантом 14-го Оренбургского казачьего полка. В 1906 году он был переведён во 2-ю Оренбургскую сотню Лейб-Гвардии Сводно-казачьего полка и произведён в подъесаулы. В 1913 году Акулинин окончил Академию Генерального штаба по 1-му разряду, после чего был прикомандирован к Офицерской кавалерийской школе для изучения технической стороны кавалерийской службы. В этот период он начал заниматься научно-исследовательской работой по истории Оренбургского казачьего войска.

Во время Первой мировой войны Акулинин начал службу старшим адъютантом Штаба 3-й Донской казачьей дивизии. Он был награждён Георгиевским оружием и орденом Святого Георгия 4-й степени. После боёв у Сандецы он был эвакуирован на Кавказ для лечения, а затем был вызван на службу в Главное управление Генерального штаба. С 1915 года Акулинин преподавал тактику во Владимирском военном училище и Пажеском корпусе. Он был членом георгиевской думы и принимал участие в межсоюзной конференции Антанты, за что получил французский Орден Почётного легиона. Акулинин был произведён в полковники.

После захвата власти большевиками Акулинин перебрался из Петрограда в область Оренбургского Казачьего Войска, где был избран депутатом войскового круга и стал заместителем войскового атамана А. И. Дутова. В 1918 году он возглавлял войсковую организацию Оренбургского казачьего войска на Государственном совещании в Челябинске. 1 октября 1918 года Акулинин был произведён в генерал-майоры. С 1918 по 1919 год он занимал пост главного начальника Оренбургского военного округа, командовал 2-м Оренбургским казачьим корпусом и был начальником штаба походного атамана всех казачьих войск А. И. Дутова.

После начала наступления Красной армии Акулинин принял решение отходить с остатками корпуса в область Уральского казачьего войска, где присоединился к отдельной Уральской армии. В 1920 году он эвакуировался в армию генерала Деникина на Кавказ, а затем в Грузию. После отступления ВСЮР Акулинин ушёл в Русскую Армию в Крым к генералу Врангелю, где продолжал борьбу до эвакуации армии Врангеля из Крыма в ноябре 1920 года.

Акулинин эвакуировался из Крыма на французском транспорте и прибыл в порт Дубровник Королевства Сербов, Хорватов и Словенцев. После непродолжительного пребывания в Дубровнике он перебрался в Белград, где вступил в белградское Общество русских офицеров Генерального штаба. В 1921 году Акулинин выступил перед членами общества с докладом на тему «Советская Россия в конце 1921 года». Он устроился на работу в Державную комиссию и оказывал помощь бывшим сослуживцам-участникам антибольшевистской борьбы.

В 1923 году Акулинин переехал в Берлин, где поселился в пансионе Гюнтера. Он являлся представителем Восточного казачьего союза в Западной Европе и вел переписку с великим князем Николаем Николаевичем и другими видными деятелями Русского зарубежья. Приблизительно в конце 1924 — начале 1925 годов Акулинин переехал в Париж, где стал одним из учредителей газеты «Возрождение» и работал редактором казачьего отдела в журнале «Часовой». Он собрал солидный архив по истории оренбургского казачества и был автором мемуарно-исследовательских работ об истории белого движения в Оренбургском крае.

Акулинин был награждён орденами Святой Анны 4 степени, Святого Станислава 3 степени, Святой Анны 3 степени, Святой Анны 2 степени, Святого Владимира 4 степени, Святого Георгия 4-й степени, Георгиевским оружием и французским Орденом Почётного легиона. Он умер в Париже 26 ноября 1944 года и был похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа.