Константин Алексеевич Авксентьевский родился 18 (30) сентября 1890 года в селе Старый Кунож Вологодской губернии. Его отец, крестьянин по происхождению, работал волостным писарем. Константин был крещен в Троицкой Старокуножской церкви Тотемского уезда. В 1907 году он окончил 2-классное начальное училище, а затем Тотемскую учительскую семинарию. После окончания семинарии несколько лет работал учителем начальной сельской школы в Несвойской волости Вологодского уезда.

В 1914 году Авксентьевский был призван в армию и служил рядовым. Во время службы он получил обморожение рук и ног, после чего был направлен для прохождения ускоренного курса во Владимирское пехотное училище в Петрограде. Окончив училище в мае 1916 года в звании подпоручика, он служил начальником пулемётной команды 2-го запасного полка в Финляндии, а затем начальником фронтовых офицерских пулемётных курсов и начальником конной учебной пулемётной команды унтер-офицеров в городе Торжке. В 1917 году он был выбран командиром пулемётной команды.

В октябре 1917 года Авксентьевский вступил в РСДРП(б). После демобилизации он вернулся в Несвойскую волость Вологодской губернии и стал одним из организаторов волостного исполкома. В 1918 году он стал одним из организаторов и начальником волостной боевой дружины, членом уездного исполкома, членом президиума и секретарём Вологодского губисполкома. С сентября 1918 года он служил военным комиссаром Вологодской губернии, членом бюро Вологодского губкома ВКП(б). В дальнейшем он занимал различные должности в Красной Армии, включая командира 4-й армии, члена Реввоенсовета Южной группы войск Восточного фронта, командующего 1-й армией и других.

В 1922-1923 годах Авксентьевский учился на Военно-академических курсах высшего комсостава РККА. После окончания курсов он командовал 8-м стрелковым корпусом на Украине, а затем служил командиром и комиссаром 6-го стрелкового корпуса. В 1925-1927 годах он командовал Туркестанским фронтом, переименованным в 1926 году в Среднеазиатский военный округ. С 1928 по 1930 год он командовал Краснознамённой Кавказской армией.

В конце 1930 года Авксентьевский был направлен на учёбу в Германскую Военную академию, где пристрастился к алкоголю. В феврале 1931 года он был уволен из рядов РККА в бессрочный отпуск по причине алкоголизма. С 1931 по 1932 годы он был членом правления Центросоюза СССР. В декабре 1934 года он был направлен на работу в Ухто-Печорский ИТЛ НКВД, где занимал разные руководящие должности. В июле 1938 - феврале 1939 годах он находился в тюремном заключении в Ухтпечлаге по уголовному обвинению, но в июне 1939 года дело было прекращено. После освобождения он работал инспектором культурно-воспитательной части сельхоза "Новый Бор" в устье Печоры.

Константин Алексеевич Авксентьевский скончался 2 ноября 1941 года. По официальным данным, он скончался в поселке Медвежка Усть-Цилемского района, но по другим данным, он был убит при попытке ограбления его квартиры уголовниками в Москве. Он был похоронен в Вологде на Введенском кладбище. В 1970 году на его могиле был торжественно открыт памятный бюст. Авксентьевский был награждён двумя орденами Красного Знамени, орденом Красного Знамени Хорезмской НСР, орденом Трудового Красного Знамени УзССР, шашкой от СНК Киргизии и "боевым конём" решением Ташкентского окрисполкома. В его честь названа улица в Вологде.