Константин Сергеевич Бегильдеев родился в 1859 году. Он был православным и происходил из потомственных дворян Тамбовской губернии. В 1875 году он окончил 2-ю Московскую военную гимназию, а в 1877 году — 3-е военное Александровское училище, после чего был выпущен прапорщиком в 39-ю артиллерийскую бригаду. Позднее он служил в 40-й артиллерийской бригаде и участвовал в Русско-турецкой войне 1877—1878 годов.

В 1885 году Константин Сергеевич окончил Николаевскую академию Генерального штаба по 1-му разряду. После окончания академии он занимал различные должности, включая старшего адъютанта штаба войск Ферганской области, 11-го армейского корпуса, штаб-офицера для особых поручений при командующих войсками Казанского и Киевского военных округов. В 1896 году он был произведён в полковники за отличие. Затем он был начальником штаба 44-й пехотной и 2-й кавалерийской дивизий.

В 1902 году Константин Сергеевич был назначен командиром 5-го лейб-драгунского Курляндского полка. В 1905 году он был произведён в генерал-майоры и назначен начальником штаба 2-го армейского корпуса. В 1911 году он был произведён в генерал-лейтенанты и назначен начальником 9-й кавалерийской дивизии, с которой он вступил в Первую мировую войну и участвовал в нескольких битвах. В 1917 году он был отчислен от должности и назначен в резерв чинов при штабе Киевского военного округа.

В Гражданскую войну Константин Сергеевич участвовал в Белом движении в составе Добровольческой армии и ВСЮР. Он состоял в резерве чинов при штабе Главнокомандующего ВСЮР, а затем в резерве чинов штаба войск Новороссийской области. На 25 марта 1920 года он находился в Одессе. Константин Сергеевич был женат, имел сына и дочь. Он был награждён многочисленными орденами и наградами, включая ордена Святого Станислава, Святой Анны, Святого Владимира и Белого Орла.