Константин Иванович Месаксуди родился в 1846 году в Керчи в семье купца 2-й гильдии Ивана Христофоровича Месаксуди. О ранней жизни Константина Ивановича известно мало. Существуют несколько противоречивых версий, согласно одной из которых он занимался в Крыму археологией и нашёл клад золотых монет, а по другой был контрабандистом и незаконно поставлял в Россию табак из Турции.

Разбогатев, Константин Иванович открыл в 1867 году небольшую табачную фабрику на углу Воронцовской и Дворянской улиц, которая к началу 1880-х годов стала крупнейшей в Керчи. В 1881 году на фабрике работали 82 человека, а её доля в общем производстве товаров промышленных предприятий города составляла 4 %. Сам Константин Иванович стал купцом первой гильдии. Фабрика «К. И. Месаксуди и сын» производила несколько марок курительного табака и папирос, которые пользовались большим успехом у современников.

Константин Иванович Месаксуди занимался большой общественной деятельностью. В 1863 году он был избран в состав Временной межевой комиссии при Городской управе Керчи. 29 ноября 1872 года был впервые избран гласным Керчь-Еникальской городской думы, позднее переизбирался в 1876 и 1880 годах. Он также был Почетным попечителем Керченской Александровской гимназии, членом Керченской торговой депутации и Директором Керченского попечительского комитета о тюрьмах.

Константин Иванович Месаксуди был также известен в Таврической губернии как благотворитель. При поддержке владельца на его фабрике была основана касса взаимопомощи, рабочим и служащим перед Пасхой выдавались «наградные». Он был также старостой церкви во имя Святого Николая Чудотворца при Керченской мужской гимназии. Сам Константин Месаксуди и члены его семейства владели большим количеством недвижимости в Керчи и других южных городах Российской империи.

Константин Иванович Месаксуди умер 19 февраля 1908 года. Он был захоронен в часовне на кладбище при Храме Святого Иоанна Предтечи, она была снесена в годы советской власти. В 2005 году на здании бывшей фабрики в Керчи была открыта мемориальная доска в память о её основателе.