Михаил Леонидович Анчаров родился 28 марта 1923 года в еврейской семье. Его отец, Израиль Менделевич Файншмид, был участником Первой мировой войны и инженером-конструктором, а мать, Евгения Исааковна Файншмид, преподавала немецкий язык. Родители Анчарова заключили брак в Харькове в 1919 году.

Анчаров посещал музыкальную школу и детскую изостудию при ВЦСПС. В 1940 году он поступил в Архитектурный институт, но в 1941 году ушёл из института и подал заявление в райвоенкомат с просьбой зачислить добровольцем на фронт. Анчаров был направлен в Военный институт иностранных языков Красной Армии, где изучал китайский язык. Он окончил институт в 1944 году и был направлен на Дальневосточный фронт, где проходил службу в Главном управлении контрразведки «Смерш» и участвовал в боевых действиях Советской Армии в Маньчжурии.

После демобилизации в 1947 году Анчаров жил на случайные заработки. В 1948 году он подал документы для поступления на живописное отделение ВГИКа, но после знакомства с Т. И. Сельвинской изменил планы и поступил в Московский государственный художественный институт имени Сурикова на факультет живописи. Анчаров окончил учёбу в 1954 году по специальности «Станковая живопись».

В 1955-1958 годах Анчаров учился на курсах киносценаристов, а в 1956-1959 годах работал референтом-сценаристом в сценарной мастерской при Сценарной студии Управления по производству фильмов Министерства культуры СССР. С 1962 года он писал сценарии, включая сценарий к первому советскому телесериалу «День за днём». В 1966 году Анчаров стал членом Союза писателей СССР.

Анчаров был женат четыре раза и имел двух детей. Он скончался 11 июля 1990 года и был похоронен на Новом Донском кладбище в Москве.

Анчаров является одним из основателей жанра авторской песни. Он написал несколько десятков авторских песен, включая «МАЗ», «Большая апрельская баллада», «Баллада о парашютах» и другие. Его прозаические произведения, такие как повести «Как птица Гаруда», «Самшитовый лес», «Сода-солнце» и «Записки странствующего энтузиаста», повлияли на мировоззрение не одного поколения.

Анчаров был награждён орденом Отечественной войны II степени, орденом Красной Звезды и медалями. Его произведения были опубликованы в нескольких книгах, включая «Теория невероятности», «Сода-солнце», «Этот синий апрель» и другие.