Алексей Федорович Морозов родился в 1829 году в деревне Красная Грива Ковровского уезда, Владимирской губернии. В 1842 году, когда Алексею было 12 лет, скончался его отец Фёдор Захарович, а спустя 8 лет умерла и мать Аксинья Трифоновна.

Алексей Федорович с женой Еленой Григорьевной, будучи выходцами из простых крестьянских семей, выкупились из крепостной неволи и в конце 50-х годов XIX века приехали на Алтай. Морозов начал с торговли в Горном Алтае, но после двух экспедиций отказался от поездок в эти регионы и сосредоточил своё внимание на торговле мануфактурной и галантерейной продукцией, открыв магазины и лавки в Бийске, Барнауле, Змеиногорске и Кузнецке. К 1877 году Морозов был единственным купцом 1-й гильдии в Бийске, что давало ему право вести заграничную торговлю.

В 80-е годы XIX века Алтай закрепил за собой статус центра производства зерна. На берегах Оби и Бии Алексей Федорович построил несколько мельниц, где перемалывал зерно и отвозил в Тюмень уже готовую муку. В условиях сибирского бездорожья Алексей Федорович создал свой речной флот. В 1888 году он запустил свой первый грузопассажирский пароход мощностью 100 л. с. между Бийском и Тюменью, который был назван «Первый». Спустя год на воду сошел пароход «Второй» (80 л. с.), а к 1893 году по Оби бороздили уже 4 парохода — к ним добавились ещё «Третий» (120 л. с.) и «Четвёртый» (180 л. с.).

Алексей Федорович также занимался общественной деятельностью и благотворительностью. В 1875 году он построил одноэтажное каменное здание для приходского училища, которое позже было преобразовано в уездное. На деньги Морозовых в Бийске открылись 12 школ, а также Форштадтское женское, начальное миссионерское и Александро-Невское приходское училища. Помимо этого, женская прогимназия появилась в городе после того, как Морозов пожертвовал на её строительство 20 тысяч рублей, став попечителем этого учебного заведения. Много жертвовали супруги Морозовы и на церковь. На их деньги был возведён самый крупный в Бийске храм — Троицкий кафедральный собор. Всего же на Алтае они построили 14 церквей и открыли несколько богаделен. В 1881 году Алексей Федорович был избран городским головой, и за четырёхлетний срок его руководства бюджет города значительно увеличился, а также заметно возросли расходы на здравоохранение и образование. В 1894 году Алексей Федорович внезапно умер в командировке — в вагоне пассажирского поезда, неподалеку от Владимира. Похоронили купца и благотворителя в алтаре возведённого на его средства Троицкого собора. После смерти Алексея Федоровича во главе фирмы встала супруга Елена Григорьевна и продолжила дело мужа.