Савва Тимофеевич Морозов родился 3 (15) февраля 1862 года в Зуево, Богородский уезд, Московская губерния, Российская империя. Он происходил из старообрядческой купеческой династии Морозовых, обосновавшейся на Патриаршине в XVI веке. Прадед Саввы Тимофеевича Василий Фёдорович был старейшим из рода Морозовых и был рыбаком, происходившим из старообрядцев поморского согласия.

Основатель династии Савва Васильевич Морозов, дед Саввы Тимофеевича, был крепостным крестьянином села Зуева Богородского уезда Московской губернии. Он начал трудовую деятельность как ткач в шёлкоткацкой мануфактуре Фёдора Кононова в Зуеве, затем организовал домашнюю мастерскую и свою небольшую фабрику. Савва Васильевич Морозов смог выкупить себя и пятерых сыновей из крепостной неволи и стал одним из основателей российской промышленности.

Савва Тимофеевич Морозов окончил 4-ю московскую гимназию у Покровских ворот в 1881 году. Затем он поступил на естественное отделение физико-математического факультета Императорского Московского университета, который окончил в 1887 году с дипломом химика. В эти годы он написал значительную работу — исследование о красителях, а позднее общался с Менделеевым.

Савва Тимофеевич Морозов стал одним из учредителей Русского гимнастического общества в 1883 году. В 1885-1887 годах он изучал химию в Кембриджском университете в Великобритании, одновременно знакомясь с организацией текстильного дела на английских фабриках в Манчестере. С 1886 года он стал директором-распорядителем Товарищества Никольской мануфактуры «Саввы Морозова сын и К°».

Савва Тимофеевич Морозов был активным предпринимателем и меценатом. Он ввёл оплату по беременности женщинам-работницам на своих фабриках и имел своих стипендиатов в технических вузах страны. Морозовские рабочие были более грамотны, чем рабочие других российских промышленных предприятий. Он также был директором Трёхгорного пивоваренного товарищества в Москве.

В 1888 году Савва Тимофеевич Морозов женился на Зинаиде Григорьевне Морозовой, бывшей жене его двоюродного племянника Сергея Викуловича. В 1890 году он приобрёл имение на Урале в посёлке Всеволодо-Вильва Пермской губернии, где преобразовал бывший железоделательный завод в химический.

Савва Тимофеевич Морозов был известен своей поддержкой русского торгово-промышленного капитала и был выбран председателем Ярмарочного комитета Нижегородской ярмарки. В 1896 году он был пожалован орденом Святой Анны 2-й степени за успешное проведение при Нижегородской ярмарке Всероссийской торгово-промышленной выставки.

Савва Тимофеевич Морозов также был связан с революционным движением. Он финансировал издание нелегальной социал-демократической газеты «Искра» и организовывал издание первых большевистских легальных газет «Новая жизнь» и «Борьба». Морозов нелегально провозил на свою фабрику запрещённую литературу и типографские шрифты, и в 1905 году прятал от полиции одного из лидеров большевиков Николая Эрнестовича Баумана.

Савва Тимофеевич Морозов скончался 13 (26) мая 1905 года в Канны, Франция.