Юрий Степанович Нечаев-Мальцов родился в родовой усадьбе старинного рода Нечаевых в селе Сторожевая слободка, ныне Полибино Данковского района Липецкой области. Его отец, Степан Дмитриевич Нечаев, был обер-прокурором Святейшего синода и сенатором. Юрий Степанович окончил 1-ю московскую гимназию в 1853 году с серебряной медалью, а в 1857 году — юридический факультет Московского университета.

После окончания образования Юрий Степанович служил в главном архиве Министерства иностранных дел, работал переводчиком и выполнял дипломатические поручения в Берлине, Париже и других городах Европы. Много лет он работал главным помощником своего дяди, Ивана Сергеевича Мальцова. Незадолго до смерти в 1880 году Иван Сергеевич объявил Юрия Степановича основным наследником, передав ему несколько фабрик и заводов в различных губерниях России, включая крупнейший Гусевской хрустальный завод во Владимирской губернии. Вступая в права наследования, Нечаев принял также и фамилию дяди и стал Нечаевым-Мальцовым.

В Санкт-Петербурге с 1880 года Нечаев-Мальцов жил в бывшем особняке графа Кочубея на Сергиевской улице. В 1883-1884 годах архитектором Леонтием Бенуа по заказу Нечаева-Мальцова были выполнены интерьеры этого здания в стиле рококо. Юрий Степанович попечительствовал Морскому благотворительному обществу, Николаевской женской больнице, Сергиевскому православному братству, помогал Дому призрения и ремесленного образования бедных детей, с 1910 года был попечителем школы Императорского женского патриотического общества имени Великой Княгини Екатерины Михайловны.

Нечаев-Мальцов был вице-президентом общины сестёр милосердия Святой Евгении и финансировал деятельность медицинских учреждений. Он был вице-председателем Общества поощрения художеств и субсидировал журнал «Художественные сокровища России». В 1885 году Ю. С. Нечаев-Мальцов основал во Владимире Техническое училище имени Ивана Мальцова, одно из лучших в Европе по техническому оснащению. При возведении здания Исторического музея во Владимире он пожертвовал стекло для изготовления музейных витрин.

Нечаев-Мальцов внёс значительный вклад в создание Музея изящных искусств в Москве, практически полностью профинансировав его создание. Официальное открытие Музея изящных искусств имени Александра III состоялось 31 мая 1912 года в присутствии Николая II и его матери Марии Фёдоровны, а также дочерей: Ольги, Татьяны, Марии и Анастасии. В этот же день Юрий Нечаев-Мальцов получил орден Белого орла за свой вклад в развитие искусства.

Нечаев-Мальцов был удостоен придворных званий камергера, гофмейстера и обер-гофмейстера. В имении Нечаева-Мальцова в селе Полибино до революции 1917 года находился первый в России музей Куликовской битвы. В Полибине у Нечаева-Мальцова гостили и творили многие известные художники и писатели. Скончался 8 октября 1913 года в своем доме в Петербурге на Сергиевской улице от острого катарального воспаления легких. Был отпет в петербургском Сергиевском всея артиллерии соборе, вслед за чем похоронен в московском Новодевичьем монастыре, рядом со своими родителями; захоронения утрачены в 1930-е годы. По завещанию бездетного Юрия Нечаева его состояние в 1914 году перешло к двум наследникам — графу Павлу Игнатьеву и князю Сан-Донато Елиму Павловичу Демидову.