Николай Гаврилович Неклютин родился в крестьянской семье и имел домашнее образование. Несмотря на это, он стал хорошим управленцем и уважаемым человеком в городе. Во время спекуляции зерна в 1870-х годах, Николай Гаврилович смог стать одним из богатейших людей Самары. Он считался купцом 1-й гильдии и являлся купеческим старостой.

Николай Гаврилович Неклютин занимал различные общественные должности. С 1890 года он был членом учётного комитета при Самарском отделении Государственного банка, членом общества взаимного кредита, членом правления общества «Дома трудолюбия», членом правления общества Красного Креста, почетным блюстителем Самарского реального училища, входил в совет женской гимназии А. С. Межак, был ктитором домовой церкви при этой гимназии.

8 февраля 1891 года Николай Гаврилович Неклютин был избран городским головой Самары. На этом посту он начал приводить в порядок улицы Самары, превращая пыльные и грязные дороги в аккуратные булыжные мостовые. Была построена каменная набережная Волги, и закончена постройка Вознесенского кафедрального собора. Однако он ушёл со своего поста «по семейным обстоятельствам».

За свой труд и благотворительность Николай Гаврилович Неклютин был награждён орденами Святой Анны 3-й степени и орденом Святого Станислава 2-й степени. Он скончался 4 июля 1904 года.