Иван Андреевич Варваций родился на острове Псара. Традиционно годом его рождения считается 1745 год, однако семейная традиция утверждает, что Варвакис был на 13 лет старше и родился в 1732 году. К концу 1760-х годов Варвакис был известен всей Греции как пират, за голову которого турецкий султан якобы обещал тысячу пиастров.

В 1770 году Варвакис присоединился на собственном судне к русской эскадре Первой Архипелагской экспедиции под командованием графа А. Орлова и адмирала Г. Спиридова. Он участвовал в Чесменском сражении и получил чин поручика. Варвакис также принимал участие в других морских сражениях и был награждён орденами Святого Владимира и Святой Анны.

В 1779 году Варвакис на своем галиоте вывозит из Решта в Астрахань имущество и личный состав российского консульства. Он также участвовал в прокладке астраханского городского канала между реками Волга и Кутум, который позже был назван Варвациевским. В 1780 году Варвакис получил задание участвовать в Персидской экспедиции графа М. И. Войновича. В 1789 году он был принят в вечное подданство Российской империи и стал миллионером благодаря своей коммерческой деятельности.

Варваций предположительно поддерживал связи с греческой диаспорой, большая часть которой жила в южных и причерноморских землях империи. Он также участвовал в греческой национально-освободительной революции и был видным членом тайного общества «Филики Этерия». В 1822 году Варваций закупил оружие для восставших и отправил его в Грецию. Позже он нелегально перебрался в Грецию и участвовал в осаде Моденской крепости. Иван Андреевич Варваций скончался в 1825 году на своей родине.